Question

对n∈N^*，不等式所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成一列点：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，…，(x_n，y_n)．

(Ⅰ)求x_n、y_n;

(Ⅱ)若a_n=3ⁿ+λ·(-x_n)^n-1·(λ为非零常数)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n.

Answer 1

解：(Ⅰ)-nx+2n＞0x＜2，

又x＞0且x∈N^*，∴x=1

故D_n内的整点都落在直线x=1上且y≤n，故D_n内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(1，n)，∴x_n=1，y_n=n(5分)

(Ⅱ)a_n=3ⁿ+λ·(-x_n)^n-1·

=3ⁿ+λ·(-1)^n-1·2ⁿ，

∴a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹+λ·(-1)ⁿ·2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+λ·(-1)^n-1·2ⁿ]

=2·3ⁿ-3λ·(-1)^n-1·2ⁿ＞0

∴(-1)^n-1·λ＜()^n-1  (*) 

当n=2k-1(k=1，2，3，…)时，(*)式即为λ＜()^2k-2对

k=1，2，3，…都成立，∴λ＜1 

当n=2k(k=1，2，3，…)时，(*)式即为λ＞-()^2k-1对k=1，

2，3，…都成立，∴λ＞

∴＜λ＜1，又λ≠0且λ∈Z，

∴存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n.