Question

（2012•北海一模）如图，在120°二面角α-l-β内半径为1的圆O₁与半径为2的圆O₂分别在半平面α、β内，且与棱l切于同一点P，则以圆O₁与圆O₂为截面的球的表面积为（　　）

• A．4π
• B．

  28π

  3

• C．

  112π

  3

• D．

  448π

  3

Answer 1

分析：设球心为O，连接O₁P，O₂P，则O，O₁，O₂，P四点共圆，且OP为所在圆的直径，也为球的半径．在三角形O₁PO₂中，由余弦定理得出O₁O₂=

7

，再由正弦定理求出OP．利用球表面积公式计算．

解答：解：设球心为O，连接O₁P，O₂P，则O，O₁，O₂，P四点共圆，且OP为球的半径．
根据球的截面圆的性质，OO₁⊥α，OO₂⊥β．
可知∠O₁PO₂为二面角α-l-β的平面角，∠O₁PO₂=120°，
从而，∠O₁OO₂=60°，在三角形O₁PO₂中，由余弦定理得出O₁O₂=

7

，再由正弦定理得出
OP=

O1O2

sin∠O1OO2

=

7

3 2

=

2 21

3

．
球的表面积S=4πR2=4π×(

2 21

3

)2=

112π

3

．
故选C．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．（选项C应该改为：

112π

3

．）