Question

9．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．
（3）设g（t）=f（2t-a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）可设f（x）=ax²+bx+c，从而由f（0）=1可得c=1，而根据f（x+1）-f（x）=2x可以得到2ax+a+b=2x，从而可以求出a，b，从而得出f（x）=x²-x+1；
（2）由f（x）＞2x+m恒成立得到x²-3x+1＞m恒成立，可令h（x）=x²-3x+1，可判断h（x）在[-1，1]上单调递减，从而得到h（x）的最小值，这样即可求出m的范围；
（3）先求出g（t）=4t²-（4a+2）t+a²+a+1，该函数的对称轴为t=$\frac{1+2a}{4}$，可讨论对称轴和0的关系：分$\frac{1+2a}{4}≥0$，和$\frac{1+2a}{4}＜0$两种情况，然后可求出每种情况的g（t）的最大值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），因为f（0）=1，所以c=1；
∵f（x+1）-f（x）=2x；
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x；
∴2ax+a+b=2x；
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=0\end{array}\right.$；
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x²-3x+1＞m恒成立；
令$h（x）={x^2}-3x+1={（x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{5}{4}$，x∈[-1，1]；
因为对称轴$x=\frac{3}{2}$＞1，所以g（x）在上[-1，1]上递减；
∴h（x）_min=h（1）=-1；
∴m＜-1；
∴实数m的范围为（-∞，-1）；
（3）g（t）=f（2t-a）=4t²-（4a+2）t+a²+a+1，t∈[-1，1]，对称轴为：$t=\frac{1+2a}{4}$；
①当$\frac{1+2a}{4}≥0$，即：$a≥-\frac{1}{2}$时，$g{（t）_{max}}=g（-1）=4+（4a+2）+{a^2}+a+1={a^2}+5a+7$；
②当$\frac{1+2a}{4}＜0$，即：$a＜-\frac{1}{2}$时，$g{（t）_{max}}=g（1）=4-（4a+2）+{a^2}+a+1={a^2}-3a+3$；
综上所述：$g（t）_{max}=\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+5a+7}&{a≥-\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-3a+3}&{a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 考查二次函数的一般形式，根据f（x）求f[g（x）]的方法，多项式相等时，对应项的系数相等，根据二次函数的单调性求最值，要熟悉二次函数的图象．