Question

已知椭圆的左焦点F为圆的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为。

（I）求椭圆方程；

（II）已知经过点F的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）当直线与轴垂直时，的方程为

，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由得，，，所以，为定值，且定值为

【解析】

试题分析：（1）因为圆的圆心为，半径，所以椭圆的半焦距

又椭圆上的点到点F的距离最小值为，所以，即

所以，所求椭圆的方程为   2分

（2）①当直线与轴垂直时，的方程为，可求得

此时，  4分

②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

由得    6分

设，则   7分

因为

所以，为定值，且定值为   13分

考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系

点评：本题第二问中直线与椭圆相交时需注意讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时常联立方程组，利用根与系数的关系求解化简