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已知函数.

(I)当时,求的单调区间

(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;

(Ⅲ)定义:对于函数在其公共定义域内的任意实数,称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数在其公共定义域内的所有差值都大干2。

 

【答案】

(I) a=0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当a<0时,f(x)在上单调递增;f(x)在上单调递减.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)证明详见解析.

【解析】

试题分析:(I)首先求出原函数的导数,然后分类求出>0或<0的解集,最后根据导数的性质,得出结论即可.(Ⅱ)由已知可知有解,构造函数 ,求导,利用基本不等式判断导数的符号,确定函数 的单调性,求出最大值即可.(Ⅲ) 首先确定公共定义域(0,+),,然后构造函数利用导函数的性质求出它们的单调性,极值点和极值,即可确定最值,求得

.

试题解析:(I)f(x)的定义域是(0,+),.

1.当a=0时,>0,所以f(x)在(0,+)上单调递增;

2.当a<0时,由=0,解得,则时,>0,所以f(x)在上单调递增;时,<0,所以f(x)在上单调递减.

综上所述,a=0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当a<0时,f(x)在上单调递增;f(x)在上单调递减.

(Ⅱ) 由题意有解,即有解,

因此只需有解即可.

 ,则

因为,且时,.

所以<0,即<0,

故h(x)在单调递减,

所以h(x)<h(0)=0,故m<0.

(Ⅲ)当a=0时,,f(x)与g(x)的公共定义域为

,则上单调递增,所以.

又设

时,单调递增;

时,单调递减;

所以x=1为函数的极大值点,即,故.

即公共定义域内任一点差值都大于2.

考点:1.函数的导数;2.导数的性质;3.不等式的证明.

 

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