Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁A，B₁B的中点．
（1）求直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的大小；
（2）求点N到平面D₁MB的距离；
（3）求直线CM与D₁N所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁N，可得A₁N是D₁N在平面A₁ABB₁内的射影，∠D₁NA₁为直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角．再在Rt△A₁ND₁中，求出A₁N 长，利用正切在直角三角形中的定义，可以求得直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的大小；
（2）利用三棱锥的体积公式，得VN-D1MB=VD1-NMB，分别求出三角形MBD₁的面积和MNB的面积，以及面MNB上的高，利用等体积转换，可得点N到平面D₁MB的距离为

6

3

；
（3）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标，可以分别得出D₁、M、C、N的坐标，从而得到向量

CM

、

D1N

的坐标，利用向量的夹角公式计算出向量

CM

、

D1N

的夹角的余弦值，最后可得直线CM与D₁N所成角的正弦值．

解答：解：（1）连接A₁N，
∵D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴A₁N是D₁N在平面A₁ABB₁内的射影，∠D₁NA₁为直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角．
∵A₁D₁=A₁B₁=2，B₁N=1
∴在Rt△A₁NB₁中利用勾股定理，得A₁N=

5

，
∴Rt△A₁ND₁中，tan∠D1NA1=

A1D1

A1N

=

2

5

=

2 5

5

，
即∠D₁NA₁=arctan

2 5

5

．
（2）连接MD₁，MB，BD₁，NM．设点N到平面D₁MB的距离为h．
∵分别在Rt△AMB和Rt△A₁MD₁中，运用勾股定理，得MB=MD₁=

5

，
正方体的对角线BD₁=

22+22+22

=2

3

∴△BMD₁中，cos∠BMD₁=

5+5-12

2• 5 • 5

=-

1

5

，得sin∠BMD₁=

2 6

5

可得S△BMD1=

1

2

BM•MD1•sin∠BMD1=

6

又∵S_△MNB=

1

2

•MN•NB=1且VN-D1MB=VD1-NMB
∴

1

3

S△BMD1h=

1

3

S_△MNBA₁D₁⇒h=

S△MNB•A1D1

S△BMD1

=

6

3

．
（3）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标，
则D₁（0，0，2），M（2，0，1），C（0，2，0），N（2，2，1）．
可得

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）．
∴cos＜

CM，

D1N

＞=

CM • D1N

|CM| |D1N|

=

2×2+(-2)×2+1×(-1)

22+(-2)2+12 • 22+22+(-1)2

=-

1

9

设直线CM与D₁N所成角大小为θ．
∴cosθ=|cos＜

CM，

D1N

＞|=

1

9

，
∴sinθ=

4 5

9

，直线CM与D₁N所成角的正弦值为

4 5

9

．

点评：本题以求直线与平面所成角、异面直线所成角和求点到平面的距离为例，着重考查了空间直线与平面所成角定义和空间点到平面距离等知识点，属于中档题．