【答案】
分析:(1)由数列的函数特性,要证明数列{y
n}是等差数列,我们可以根据已知点B
1(1,y
1),B
2(2,y
2),…,B
n(n,y
n)(n∈N
*)在直线
上,进而给出数列{y
n}的通项公式,利用通项公式法证明.
(2)由已知易得
,进一步可以证明数列{x
n}所有的奇数项成等差数列,所有的偶数项也成等差数列,由等差数列的性质易得A
2n-1(2n+a-2,0),A
2n(2n-a,0),结合(1)的结论和三角形面积公式,即可给出S
2n-1的表达式.
(3)由(2)的结论,易给出数列
前n项和为T
n的表达式,利用裂项求和法,化简T
n的表达式再与
进行比较,即可得到结论.
解答:解:(1)由于点B
1(1,y
1),B
2(2,y
2),,B
n(n,y
n)(n∈N
*)在直线
上,
则
,
因此
,所以数列{y
n}是等差数列;
(2)由已知有
,那么x
n+x
n+1=2n,同理x
n+1+x
n+2=2(n+1),
以上两式相减,得x
n+2-x
n=2,
∴x
1,x
3,x
5,…,x
2n-1,成等差数列;x
2,x
4,x
6,…,x
2n,也成等差数列,
∴x
2n-1=x
1+(n-1)×2=2n+a-2,x
2n=x
2+(n-1)×2=(2-a)+(n-1)×2=2n-a,
点A
2n-1(2n+a-2,0),A
2n(2n-a,0),
则|A
2n-1A
2n|=2(1-a),|A
2nA
2n+1|=2a,
而
,
∴
;
(3)由(2)得:
,
则
而S
2nS
2n-1>0,则
,
即
∴
∴
∴
由于
,
而
,
则
,从而
,
同理:
以上n+1个不等式相加得:
即
,
从而
.
点评:要判断一个数列是否为等差(比)数列,我们常用如下几种办法:①定义法,判断数列连续两项之间的差(比)是否为定值;②等差(比)中项法,判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差(比)中项;③通项公式法,判断其通项公式是否为一次(指数)型函数;④前n项和公式法.