Question

若集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=

1

2

x²-x+

5

2

，0≤x≤3}
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（C_RA）∩B．

Answer 1

分析：（1）解一元二次不等式求出集合A和集合B，由A∩B=∅，可得集合的端点满足a≤2 且 a²+1≥4，由此求得
实数a的取值范围．
（2）由条件判断-2≤a≤2，求出C_RA，分a²+1＜2、2≤a²+1≤4，a²+1＞4三种情况求出（C_RA）∩B．

解答：解：（1）∵集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}={y|（y-a）（y-a²-1）＞0}
={y|y＜a，或y＞a²+1}，
B={y|y=

1

2

x²-x+

5

2

，0≤x≤3}={y|y=

1

2

（x-1）²+2，0≤x≤3}={y|2≤y≤4}．
由A∩B=∅，
∴a≤2 且 a²+1≥4，解得

3

≤a≤2，或 a≤-

3

，
故实数a的取值范围为[

3

，2]∪（-∞，-

3

]．
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，判别式△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2．
由（1）可得C_RA={y|a≤y≤a²+1 }，B={y|2≤y≤4}．
当 a²+1＜2，即-1＜a＜1时，（C_RA）∩B=∅．
当2≤a²+1≤4，即 1≤a≤

3

 或-

3

≤a≤-1 时，（C_RA）∩B=[2，a²+1]．
当a²+1＞4时，即 2≥a＞

3

 或-2≤a＜-

3

时，（C_RA）∩B=B=[2，4]．

点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．