Question

已知各项均为整数的等比数列{a_n}，公比q＞1，且满足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中项．（1）求数列的通项公式（2）设A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，试比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用等比中项公式直接求出a₃=8，利用a₃+2是a₂，a₄的等差中项．求出公比，然后求出通项公式；
（2）表示出A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，验证二者的大小，利用数学归纳法证明第一步，验证n=4时，不等式成立，第二步，假设n=k时，结论成立，下面证明n=k+1时也成立．

解答：解：（1）

因为a2a4=64

，∴a32=64，a3=±8.，∴a3=8，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，所以a₂=4，a₄=16，所以数列的通项公式a_n=2ⁿ．
（2）

由(1)得An=2n+1-2，Bn=lo g 2 2 2n+1=(n+1)2， 当n=1时，A1=2，B1=(1+1)2=4，A1＜B1； 当n=2时，A2=6，B2=(2+1)2=9，A2＜B2； 当n=3时，A13=14，B3=(3+1)2=16，A3＜B3； 当n=4时，A4=30，B4=(4+1)2=25，A4＞B4； 由上可以猜想，当1≤n≤3时，An＜Bn；当n≥4时，An＞Bn

下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立．
②

假设n=k(k≥4)时，Ak＞Bk成立，即2k+1-2＞(k+1)2 当n=k+1时，Ak+1=2k+2-2=2(2k+1-2)+2＞2(k+1)2+2=2k2+4k+4 ＞k2+4k+4=[(k+1)+1]2=Bk+1 即当n=k+1时不等式也成立．

由①②知，当n≥4（n∈N^*）时，A_n＞B_n
综上，当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n

点评：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生对数列基本知识的掌握．难点在于作差比较大小，得出的结果不能判别符号，不少学生在此会放弃；在于要想到用数学归纳法来证明差中的一部分．