Question

函数f(x)=

x2+5x 6 ，0≤x＜3 10-2x，3≤x≤5

，?m，n∈[0，5]（m＜n），使f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：先画出函数的图象，结合函数的图象分①0≤m＜n＜3，②3≤m＜n≤5，③0≤m＜3＜n＜5三种情况，判断函数的表达式及在对应区间上的单调性可求．

解答：解：先画出函数的图象，如图所示，由题意可得m≠0
①当0≤m＜n＜3时，f（x）=

x2+5x

6

在区间[m，n]单调递增，则

f(m)=m f(n)=n

?

m2+5m=6m n2+5n=6n

?

m=0 n=1

②当3≤m＜n≤5，f（x）=10-2x在[m，n]单调递减，则

f(m)=n f(n)=m

?

10-2m=n 10-2n=m

?m=n（舍）
③当0≤m＜3＜n＜5时，可知函数的最大值为f（3）=4=n，从而可得函数的定义域及值域为[m，4]，而f（4）=2
（i）当m=2时，定义域[2，4]，f（2）=

7

3

＞f（4）=2，故值域为[2，4]符合题意
（ii）当m＜2时，f(m)=

m2+5m

6

=m可得m=1，n=4，符合题意
（iii）当m=0时，定义域[0，4]，f（3）=4＞f（4）=2，故值域为[0，4]符合题意
综上可得符合题意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）
故选D．

点评：本题主要考查了分段函数的值域的求解，解题中如能借助于函数的图象，可以简化运算，要注意数形结合及分类讨论思想在解题中的运用．