Question

如图所示，已知一次函数y=kx+k的图象（直线l）与x轴交于点Q，M是二次函数y=

1

2

（x²+x）上的动点（不在l上），A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴，是否存在这样的k，使得

|QB|2

|QA|

为常数．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设出点的坐标，分别表示出QB²，QA的长，得出

|QB|2

|QA|

的比值，比较分子，分母，得出须使

2

k

=1，从而求出k的值．

解答： 解：y=kx+k=k（x+1），点Q（-1，0），
设M（x₀，

1

2

（x₀²+x₀）），QM²=（x₀+1）²+

1

4

（x₀²+x₀）²，
B（x₀，k（x₀+1）），A（x₁，y₁）
∴MA²=

kx0- 1 2 (x02+x0)+k

k2+1

，
QA=

QM2-MA2

=

1 2 |kx0+2||x0+1|

k2+1

，
QB²=（x₀+1）²+k²（x₀+1）²=（k²+1）（x₀+1）²，

|QB|2

|QA|

=

2(k2+1)(x0+1)2 k2+1

|kx0+2||x0+1|

，
要使得

|QB|2

|QA|

为常数，须使

2

k

=1，即k=2．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了距离公式，计算量较大，是一道中档题．