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    椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，长轴端点与短轴端点间的距离为
    		5
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．
    分析：（Ⅰ）由离心率为
    		3
    2
    ，长轴端点与短轴端点间的距离为
    		5
    ，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合
    OE
    •
    OF
    =0，即x1x2+y1y2=0，从而可求直线l的斜率．
    解答：解：（Ⅰ）由已知
    c
    a
    =
    		3
    2
    ，a2+b2=5，…（2分）
    又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
    所以椭圆C的方程为
    x2
    4
    +y2=1    ．…（3分）
    （Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，…（4分）
    代入椭圆方程，消去y得（（1+4k2）x2+32kx+60=0，…（5分）
    所以△=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240，
    令△＞0，解得k2＞
    15
    4
    ．…（6分）
    设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
    则x1+x2=-
    32k
    1+4k2
    ，x1x2=
    60
    1+4k2
    ，…（7分）
    因为OE⊥OF，所以
    OE
    •
    OF
    =0，即x1x2+y1y2=0，…（8分）
    所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，
    所以
    15×(1+k2)
    1+4k2
    -
    32k2
    1+4k2
    +4=0    ，解得k=±
    		19
    ．…（10分）
    所以直线l的斜率为k=±
    		19
    ．…（12分）
    点评：本题考查椭圆的步骤方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    一条斜率为1的直线l与离心率e=
    		2
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
    .
    OP
    •
    .
    OQ
    =-3，
    .
    PR
    =3
    .
    RQ
    ，求直线l和椭圆C的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
    3
    5
    a    ，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
    （1）求椭圆离心率；
    （2）若MN=
    4
    		21
    7
    ，求椭圆C的方程；
    （3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1的离心率为
    		3
    2
    ，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程：
    （Ⅱ）若S△PMN=
    3
    2
    ，求直线AB的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    		2
    2
    ，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
    3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
    （3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程：
    （Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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