Question

13．在等差数列{a_n}中，a₃=2，a₉=2a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{2n{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质得出方程组$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\{a_1}-2d=0.\end{array}\right.$求解得出a₁，d．运用通项公式求解即可．
（2）把b_n裂项得出${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$，出现正负项，即可求解和．

解答 解：（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d．
因为$\left\{\begin{array}{l}{a_3}=2\\{a_9}=2{a_4}\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\{a_1}-2d=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
所以通项公式为：${a_n}={a_1}+（n-1）d=\frac{n+1}{2}$．
（Ⅱ）因为${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}$，
所以${S_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考察了等差数列的常规题型知三求二，裂项法求解数列的和，属于中档题，计算准确即可．