Question

(2006江苏，19)如下图，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=l∶2(如图1)．将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、(如图2)．

(1)求证：⊥平面BEP；

(2)求直线与平面所成角的大小；

(3)求二面角的大小(用反三角函数值表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：不妨设正三角形ABC的边长为3． (1)在图1中，取BE的中点D，连结DF． ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2， 而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1， ∴EF⊥AD．在图2中，， BE⊥EF，∴为二面角的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴． 又BE∩EF=E，∴⊥平面BEF， 即⊥平面BEP． (2)在图2中，∵不垂直于， ∴是平面的斜线． 又⊥平面BEP，∴⊥BP， 从而BP垂直于在平面内的射影(三垂线定理的逆定理)． 设在平面内的射影为，且交BP于点Q，则就是与平面所成的角． 且．在△EBP中， ∵BE=BP=2，∠EBP=60°， ∴△EPB是等边三角形，∴BE=EP． 又⊥平面BEP，∴， ∴Q为BP的中点，且， 又，在Rt△中，，∴．所以直线与平面所成的角为60°． (3)在图3中，过F作于M，连结QM、QF． ∵CF=CP=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形，∴PF=1． 又，∴PF=PQ．　　　　　　① ∵⊥平面BEP，， ∴，∴， 从而，　　　　　　　　② 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 从而∠FMQ为二面角的平面角．在Rt中， ，PQ=1，∴． ∵，∴， ∴． 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得． 在△FMQ中，cos∠FMQ． 所以二面角．