Question

已知数列{a_n}首项a₁=2，且对任意n∈N^*，都有a_n+1=ba_n+c，其中b，c是常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，且c=2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a_n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使{a_n}的前n项和S_n＜

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256

成立的n取值集合．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=ba_n+2，求出数列的前3项，利用数列{a_n}是等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等比数列，则c=0，由条件知，a₁，a₂，a₃按某种顺序排列成等差数列，我们知道，等差数列总是单调的（常数列除外），讨论前三项2，2b，2b²按某种顺序排列成等差数列的情况，可确定数列的公比，进而了求数列的和，利用S_n＜

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，即可求得结论．

解答：解：（1）a_n+1=ba_n+2
∵a₁=2，∴a₂=2b+2，a₃=2b²+2b+2
∵数列{a_n}是等差数列，
∴2（2b+2）=2+2b²+2b+2
∴b²-b=0
∴b=0或1
b=0时，a_n=2；b=1时，a_n+1-a_n=2，∴a_n=2n；
（2）若数列{a_n}是等比数列，则c=0
由条件知，a₁，a₂，a₃按某种顺序排列成等差数列，我们知道，等差数列总是单调的（常数列除外），
现在讨论前三项2，2b，2b²按某种顺序排列成等差数列的情况．
若0＜b＜1，则2＞2b＞2b²，是单调的，但它不是等差数列，调整顺序后又不单调，所以不能组成等差数列，从而-1＜b＜0，
此时，2b＜0，2b＜2b²＜2，所以2b，2b²，2组成等差数列，所以2b+2=4b²，解得b=-

1

2

从而a_n=2×（-

1

2

）^n-1，
∴S_n=

4

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]
令S_n＜

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，即

4

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]＜

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，
化简，得（-

1

2

）ⁿ＞（

1

2

）¹⁰
故当n为偶数时，有n＜10
所以，n=2，4，6，8．

点评：本题考查等差数列的定义，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列的公比，正确求和，属于中档题．