Question

（06年湖北卷文）（12分）

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离。

Answer 1

解析：解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,

      

 

连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，H＝M。故点到平面AMN的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，

，,。

因为

所以,同法可得。

故为二面角―AM―N的平面角

∴＝

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得

 故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。