Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=(

1

2

)|x-m|
（1）求m的值；
（2）设g（x）=log₂x，证明：方程f（x）=g（x）只有一个实数解．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，2]时，f（x+2）=f（x）有f（2）=f（0），建立关于m的等式关系，解之即可求出m的值；
（2）由（1）得f（x）的解析式，然后根据函数f（x）的周期性求出函数f（x）的值域，讨论x，当x≥2时，方程f（x）=g（x）无解，当1＜x＜2时，记F（x）=f（x）-g（x），然后根据根的存在性定理可知函数F（x）在x∈（1，2）内有唯一零点
即方程f（x）=g（x）在x∈（1，2）上有唯一解，当0＜x≤1时，此时方程无解，从而证得结论．

解答：解：（1）由x∈[0，2]时，f（x+2）=f（x）有f（2）=f（0）
得|2-m|=|m|
∴m=1
（2）证明：由（1）得f（x）=(

1

2

)|x-1|
当x∈[0，2]时，f（x）∈[

1

2

，1]
又f（x）是周期为2的周期函数，故f（x）的值域为[

1

2

，1]
当x＞2时，g（x）＞1＞f（x），故此时方程无解；
当x=2时，f（x）≠g（x），方程无解
当1＜x＜2时，记F（x）=f（x）-g（x）=(

1

2

)x-1-log2x，
F（1）•F（2）=-

1

2

＜0，且F（x）单调递减，所以函数F（x）在x∈（1，2）内有唯一零点
即方程f（x）=g（x）在x∈（1，2）上有唯一解；
当0＜x≤1时，g（x）≤0＜f（x），此时方程无解．
综上可知，方程f（x）=g（x）只有一个实数解．

点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．