Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC为正三角形，D为AC中点．
（1）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点．可得DO为△AB₁C中位线，A₁B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A₁B∥平面BC₁D；
（2）由AA₁⊥底面ABC，得AA₁⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC₁A₁，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC₁D⊥平面ACC₁A；

解答： （1）证明：连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB₁C中位线，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面AB₁C，A₁B?平面AB₁C，
∴直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）证明：∵AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A；

点评：本题考查了直三棱柱的性质，求证线面平行、面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，属于中档题．