Question

（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为．

（1）求三棱柱的体积；

(2)在面内是否存在过的直线与面平行？证明你的判断；

（3）证明：平面⊥平面．

 

Answer 1

【答案】

平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．

【解析】解：(1)如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°，

使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到

点B₂的位置，连接A₁B₂，则A₁B₂就是由点B沿

棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线．

设棱柱的棱长为，则B₂C=AC=AA₁＝,

∵CD∥AA_1　，∴为的中点．                               ………2分

在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，

即　，解得， ∵，

∴．                                   ………5分

(2)设A₁B与AB₁的交点为O,连结BB₂,OD，则．

∵平面，平面，    ∴平面，

即在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．                ………9分

 (3)连结AD,B₁D ∵≌≌≌，

∴，   ∴．

 ∵ ，，  

 ∴平面A₁ABB₁ ，又∵平面A₁BD． 

 ∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁ ．                                  ………13分