Question

（2012•上海模拟）设C₁是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，以(0，  

7

)为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求

FA

•

FB

的最大值；
（3）是否存在正数p，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C₂的渐近线上？如果存在，求出p的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设双曲线C₂的方程，利用C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，焦点是(0，

7

)，即可求得双曲线方程；
（2）抛物线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，可得p的取值范围；设A、B的坐标，用坐标表示

FA

•

FB

，利用韦达定理及配方法，可得

FA

•

FB

的最大值；
（3）由（2）知△FAB的重心G（

2p

3

，

n+f

3

），即G（

2p

3

，

3p2+4 3 p

3

），假设G恰好在双曲线C₂的渐近线上，利用渐近线方程，即可求得结论．

解答：解：（1）因为一个焦点是(0，

7

)，故焦点在y轴上，于是可设双曲线C₂的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，
∴

a

b

=

2

3

∵a²+b²=7
∴a=2，b=

3

∴双曲线方程为

y2

4

-

x2

3

=1；
（2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），与双曲线方程联立消y得：4x²-6px+12=0
∵C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，∴△＞0，∴p＞

4 3

3

设A（m，n）、B（e，f），则

FA

•

FB

=（m-

p

2

，n）•（e-

p

2

，f）=me-（m+e）×

p

2

+

p2

4

+nf=me-（m+e）×

p

2

+

p2

4

+2p

me

由方程知me=3，m+e=

3p

2

代入得

FA

•

FB

=-

p2

2

+2

3

p+3=-

1

2

（p-2

3

）²+9，函数的对称轴为p=2

3

∵p＞

4 3

3

，∴p=2

3

时，

FA

•

FB

的最大值为9；
（3）由（2）知△FAB的重心G（

2p

3

，

n+f

3

）
∵n+f=

2pm

+

2pe

=

3p2+4 3 p

∴G（

2p

3

，

3p2+4 3 p

3

）
假设G恰好在双曲线C₂的渐近线上，则2×

2p

3

-

3

×

3p2+4 3 p

3

=0，∴7p2=12

3

p
∴p=0或p=

12 3

7

∵p＞

4 3

3

，∴p=

12 3

7

∴存在正数p=

12 3

7

，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C₂的渐近线上．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．