Question

若不等式2x≥log_ax对任意的x＞0都成立，则正实数a的取值范围是（　　）

• A．[e^e，+∞）
• B．[e

  1

  2e

  ，+∞）
• C．[e^2e，+∞）
• D．[e

  1

  e

  ，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得a＞1，令F（x）=2x-log_ax，利用导数求得F（x）的最小值为 F（

1

2lna

），由F（

1

2lna

）≥0，利用对数的运算性质求得正实数a的取值范围．

解答：解：由于不等式2x≥log_ax对任意的x＞0都成立，∴a＞1．
令F（x）=2x-log_ax，则 F′（x）=2-

1

x

•logae，令 F′（x）=0 求得x=

1

2lna

．
在区间（0，

1

2lna

）上，F′（x）＜0，F（x）是减函数．
在区间（

1

2lna

，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）是增函数．
故F（x）的最小值为 F（

1

2lna

）=

1

lna

-loga

1

2lna

≥0，即 loga

1

2lna

≥-

1

lna

，即

ln(2lna)

lna

≥-

1

lna

，即 ln（2lna）≥-1．
∴2lna≥

1

e

，即 lna²≥lne

1

e

，∴a²≥e

1

e

，a≥

e 1 e

=e

1

2e

．
故正实数a的取值范围是[e

1

2e

，+∞），
故选 B．

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求函数的最值，对数的运算性质，属于中档题．