Question

已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，BD与α所成的角是30°，如果AB=3，AC=BD=4，D在平面α上的射影为D′，如图，求：

（1）线段AC与BD所成的角；

（2）线段CD的长；

（3）二面角C—BD—D′的余弦值.

Answer 1

解：（1）∵D在α上的射影为D′

∴DD′⊥α.

    又∵AC⊥α，∴AC∥DD′.

    即AC与BD所成的角就是BD与DD′所成的角.

    由题意，在Rt△DD′B中，∠BDD′=60°

∴线段AC与BD所成的角为60°.

（2）在Rt△DD′B中，BD′=2，DD′=2，

    连结AD′，可证∠ABD′=90°，得AD′=，

    取AC中点E，可证DE∥D′A，

    在Rt△CED中，CD==5，即CD=5.

（3）连结CB，在Rt△CAB中，CB=5.

    在等腰三角形CBD中取BD中点F，

    则FC⊥BD，在△BDD′中过F作FH⊥BD交BD于H，

    连结CH，则∠CFH就是面CBD与面BDD′所成的角，

    在Rt△BFH中，得FH=，BH=，

    连结AH，得AH=，

    在Rt△CAH中，CH=；在△CFH中，

cosCFH=，

∴所求角的余弦值为.