精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2013•镇江二模)如图所示,有两条道路OM与ON,∠MON=60°,现要铺设三条下水管道OA,OB,AB(其中A,B分别在OM,ON上),若下水管道的总长度为3km,设OA=a(km),OB=b(km).
(1)求b关于a的函数表达式,并指出a的取值范围;
(2)已知点P处有一个污水总管的接口,点P到OM的距离PH为
3
4
km
,到点O的距离PO为
7
4
km
,问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P?若能,求出a的值,若不能,请说明理由.
分析:(1)把AB的长度用含有a,b的代数式表示,在三角形AOB中利用余弦定理得到b和a的关系,即得到b关于a的函数表达式,利用三角形两边之和大于第三边得到a的取值范围;
(2)利用解析法,以O为原点,OM所在直线为x轴,建立直角坐标系,求出P点的坐标,假设AB过点P,设出A,B的坐标,写出A,B所在直线方程,把P点坐标代入直线方程求出a的值,在定义域当中,则假设成立,否则,不成立.
解答:解:(1)∵OA+OB+AB=3,∴AB=3-a-b.
∵∠MON=60°,由余弦定理,得AB2=a2+b2-2abcos60°.
∴(3-a-b)2=a2+b2+ab.
整理,得b=
2a-3
a-2

由a>0,b>0,3-a-b>0,及
a+b>3-a-b,a+3-a-b>b,b+3-a-b>a,得0<a<
3
2

综上,b=
2a-3
a-2
,0<a<
3
2

(2)以O为原点,OM所在直线为x轴,建立如图所示直角坐标系.

PH=
3
4
,PO=
7
4
,∴点P(
1
2
3
4
).
假设AB过点P.
∵A(a,0),B(
1
2
b,
3
2
b)
,即B(
1
2
2a-3
a-2
3
2
2a-3
a-2
)

∴直线AP方程为y=
3
4
1
2
-a
(x-a)
,即y=
3
2-4a
(x-a)

将点B代入,得
3
2
2a-3
a-2
=
3
2-4a
(
1
2
2a-3
a-2
-a)

化简,得6a2-10a+3=0.
a=
7
6

a=
7
6
∈(0,
3
2
)

答:下水管道AB能经过污水总管的接口点P,a=
7
6
(km).
点评:本题考查了根据实际问题选择函数模型,考查了余弦定理在解三角形中的应用,注意实际问题要有实际意义,是中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•镇江二模)已知a为正的常数,函数f(x)=|ax-x2|+lnx.
(1)若a=2,求函数f(x)的单调增区间;
(2)设g(x)=
f(x)x
,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•镇江二模)如图,设A,B分别为椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点,过原点O作直线交线段AB于点M(异于点A,B),交椭圆于C,D两点(点C在第一象限内),△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2
(1)若M是线段AB的中点,直线OM的方程为y=
1
3
x
,求椭圆的离心率;
(2)当点M在线段AB上运动时,求
S1
S2
的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•镇江二模)已知数列{bn}满足b1=
1
2
1
bn
+bn-1=2(n≥2,n∈N*)

(1)求b2,b3,猜想数列{bn}的通项公式,并用数学归纳法证明;
(2)设x=
b
n
n
y=
b
n+1
n
,比较xx与yy的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•镇江二模)已知i是虚数单位,复数z=
3+i1+i
对应的点在第
象限.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•镇江二模)设全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x>1},则A∩?UB
{x|-1≤x≤1}
{x|-1≤x≤1}

查看答案和解析>>

同步练习册答案