Question

若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数．有下列命题：
①在内单调递增;
②和之间存在“隔离直线”, 且b的最小值为-4;
③和之间存在“隔离直线”, 且k的取值范围是;
④和之间存在唯一的“隔离直线”．
其中真命题的个数有(      )．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

C

解析试题分析：(1)=，，则解得，所以在内单调递增;故①正确．
(2)和之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为，当“隔离直线”与同时相切时，截距最小，令切点坐标为，则切线方程为所以，故，所以，此时截距最小，故②正确；此时斜率为，k的取值范围是．故③错误．
④令F（x）=h（x）-m（x）=x²-2elnx（x＞0），再令F′（x）═=0，x＞0，得x=，
从而函数h（x）和m（x）的图象在x=处有公共点．
因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e．
由h（x）≥kx-k+e可得 x²-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k²-4k+4e=≤0，只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
同理证明，由φ（x ）≤kx-k+e，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x-e，故④正确．
考点：函数恒成立问题；复合命题的真假；利用导数研究函数的极值