Question

已知曲线y=ax³+bx²+cx+d满足下列条件：
①过原点；②在x=0处导数为-1；③在x=1处切线方程为y=4x-3．
（Ⅰ） 求实数a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求函数y=ax³+bx²+cx+d的极值．

Answer 1

解（Ⅰ）y′=3ax²+2bx+c根据条件有

d=0 c=-1 3a+2b+c=4 a+b+c+d=1

解得

a=1 b=1 c=-1 d=0

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=x³+x²-x，y′=3x²+2x-1，（7分）
y′=0x=

1

3

或-1（9分）
x，y，y′的关系如表所示

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ．+∞）
y′	+	0	-	0	+
y	↑	极大值1	↓	极小	- 5 27 ↑

因此函数y=x³+x²-x在x=-1处有极大值1，在x=′

1

3

处有极小值-

5

27

．（13分）