Question

已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F₂的直线l交双曲线于A、B两点，F₁为左焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若△F₁AB的面积等于6，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）∵双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∴双曲线焦点（±c，0）到渐近线的距离为=b=
又∵双曲线离心率e==2
∴c=2a，平方得c²=a²+b²=a²+3=4a²，解得a=1
因此，双曲线的方程为
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由右焦点F₂（2，0）设直线l方程：y=k（x-2）
由消去y，得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0
根据题意知k≠±，由根与系数的关系得：x₁+x₂=，x₁x₂=，y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴△F₁AB的面积S=c|y₁-y₂|=2|k||x₁-x₂|=2|k|•=2|k|•=6
两边去分母并且平方整理，得k⁴+8k²-9=0，解之得k²=1（舍负）
∴k=±1，得直线l的方程为y=±（x-2）
分析：（1）根据题意，得离心率e==2且b=，结合c²=a²+b²联解得a=1，即得双曲线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程：y=k（x-2）．由双曲线方程与直线l方程消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和△F₁AB的面积等于6，建立关于k的方程并解出k的值，即得直线l的方程．
点评：本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题．