Question

（2012•盐城二模）在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，若S2n+1-Sn≤

m

15

对n∈N₊恒成立，则正整数m的最小值为

5

．

Answer 1

分析：由题干中的等式变形得出数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，得出{

1

an

}的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，得出数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项，再由S_2n+1-S_n≤

m

15

，求出正整数得m的最小值．

解答：解：在等差数列{a_n}中，∵a₂=5，a₆=21，
∴

a1+d=5 a1+5d=21

，
解得a₁=1，d=4，
∴

1

an

=

1

1+4(n-1)

=

1

4n-3

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

15

，∴m≥

14

3

，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为5．
故答案为：5．

点评：本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，证数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，证明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．是解题的关键．