Question

某企业自2013年1月1日起正式投产，环保监督部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放的污水进行了三个月的监测．监测的数据如下表，并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放的污水量将成等比数列．

月份	1月	2月	3月
该企业向湖区排放的污水量（单位：万立方米）	1	2	4

（1）如果不加以治理，求从2013年1月起，m个月后，该企业总计向湖区排放了多少万立方米的污水；
（2）为保护环境，当地政府和企业从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，请问到哪年哪月：
①企业的污水排放量为零；
②当企业的污水排放量为零后，再以每月25万立方米的速度处理湖区中的污水，可以使湖区中的污水不多于50万立方米．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）①设治理后每月污水扥排放量构成的数列为{b_n}，由已知它构成等差数列，其中，b₁=a₆-4，利用等差数列的通项公式解出b_n=0时的n即可得出．
②当企业的污水排放量为零时，湖中共有污水为a₁+a₂+…+a₆+b₁+b₂+…+b₈利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得出；
则治理t个月后175-25t≤50，解出即可．

解答：解：（1）∵每月污水排放量构成等比数列{a_n}，且a₁=1，q=2．
∴S_m=

a1(qm-1)

q-1

=

1×(2m-1)

2-1

=2^m-1．
（2）①设治理后每月污水扥排放量构成的数列为{b_n}，由已知它构成等差数列
其中，b₁=a₆-4=2⁵-4=28．
则b_n=b₁+（n-1）d=28+（n-1）（-4）=-4n+32．
当b_n=0时，n=8故到2014年2月排放量为0．
②当企业的污水排放量为零时，湖中共有污水为a₁+a₂+…+a₆+b₁+b₂+…+b₈=

26-1

2-1

+

(28+0)×8

2

=175．
则治理t个月后175-25t≤50，t≥5．
到2014年6月时湖中的污水不多于50万立方米．

点评：本题综合考查了等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．