Question

已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率和将点P坐标代入椭圆方程中，解得a²，b²，从而求出椭圆方程．
（2）第一步：根据椭圆方程先求出左焦点，再求出以椭圆C的长轴为直径的圆的方程及圆心和半径，
    第二步：求出以PF为直径的圆的方程及圆心和半径，再根据圆心距与两半径的关系得到两圆相切．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率为，且经过点．
即解得
∴椭圆C的方程为．
（2）∵a²=4，b²=3，∴．
∴椭圆C的左焦点坐标为（-1，0）．
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x²+y²=4，圆心坐标是（0，0，半径为2
以PF为直径的圆的方程为，圆心坐标为（0，），半径为
∵，
故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．
点评：此题考查椭圆方程的求法，及两圆之间位置关系的判定，尤其是两圆位置关系的判定是解析几何在高考中的热点问题．