Question

如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是x=2
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，
问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由题意得 =，==2，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）． 由向量间的关系得到 x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，据M、N是椭圆上的点可得 x²+2y²=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．再根据直线OM与ON的斜率之积为-，得到点P是椭圆 x²+2y²=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（，0），满足条件．
解答：解：（Ⅰ） 由题意得 =，==2，∴a=2，b=，
故椭圆的标准方程  +=1．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）．∵动点P满足：=+2，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂  ），∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+2y₁²-4=0，x₂²+2y₂²-4=0．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．
∵直线OM与ON的斜率之积为-，∴•=-，∴x²+2y²=20，
故点P是椭圆  =1 上的点，焦点F（，0），准线l：x=2，离心率为，
根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值，
故存在点F（，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，两个向量坐标形式的运算，以及椭圆的第二定义．