Question

19．已知函数$f（x）=\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域
（Ⅱ）若$f（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，求cosα的值
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若α是第四象限角，求$cos（{π-2α}）+cos（{2α-\frac{π}{2}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由cosx≠0得：x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，进而得到函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若$f（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，则$\sqrt{2}$cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，化简可得答案；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若α是第四象限角，则$sinα=-\frac{4}{5}$，利用倍角公式和诱导公式，可得答案．

解答 解：（1）由cosx≠0得：x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}  （2分）
（2）$f（x）=\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$=$\frac{2sinx•cosx+2cos{\;}^{2}x}{2cosx}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵$f（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，
∴$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$  （8分）
（3）∵α是第四象限角，
∴$sinα=-\frac{4}{5}$（9分）
∴$cos2α={cos^2}α-{sin^2}α=-\frac{7}{25}$，$sin2α=2sinαcosα=-\frac{24}{25}$（10分）
∴cos（π-2α）+cos（2α-$\frac{π}{2}$）=$-cos2α+sin2α=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}=-\frac{17}{25}$（12分）

点评 本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，难度中档．