Question

给出下列五个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
③若m≥-1，则函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R；
④满足条件AC=

3

，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个；
⑤函数y=（1+x）的图象与函数y=（1-x）的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是

①③⑤

．

Answer 1

分析：根据函数零点的判定定理可得①正确．
根据幂函数的单调性，通过举反例可得②不正确．
根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故③正确．
根据正弦定理解△ABC，可判断④的真假；
根据函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称，不一定关于y轴对称，故⑤正确．

解答：解：对于函数f（x）=lnx-2+x，在区间（1，e）上单调递增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根据函数零点的判定定理
可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．
②不正确，如当f（x）=x³时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0处没有极值．
③当 m≥-1，函数y=log

1

2

（x2-2x-m）的真数为 x²-2x-m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，
故函数y=log

1

2

（x2-2x-m）的值域为R，故③正确．
④∵AB＜AC，由正弦定理解三角形解的个数判断，可得满足条件三角形△ABC只有一个，故④错误；
⑤由于函数y=f（1+x）的图象关于y轴对称的解析式为y=f（1-x），故⑤正确．
故答案为 ①③⑤

点评：本题主要考查命题的真假的判断，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．