Question

设a、b、c为某一个三角形的三条边,a≥b≥c,求证:

(1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a);

(2)a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c)≤3abc.

Answer 1

证明：(1)用比较法：c(a+b-c)-b(c+a-b)=ac+bc-c²-bc-ab+b²=b²-c²+ac-ab=(b+c-a)(b-c),

∵b≥c,b+c-a＞0,

∴c(a+b-c)-b(c+a-b)≥0,

即c(a+b-c)≥b(c+a-b).

同理可证b(c+a-b)≥a(b+c-a).

(2)由题设及(1),知a≥b≥c,a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),

由反序和≤乱序和,得a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c)≤ab(b+c-a)+bc(c+a-b)+ca(a+b-c)=

3abc+ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c),

再次由反序和≤乱序和,得

a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c)≤ac(b+c-a)+ba(c+a-b)+cb(a+b-c)=3abc+ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c).

两式相加再除以2即可得原不等式.