Question

已知正三角形ABC的边长为2，沿着BC边上的高AD将正三角形折起，使得平面ABD⊥平面ACD（如图），则三棱锥A-BCD的体积为

3

6

．

Answer 1

分析：根据题意，证出AD⊥平面BCD且∠BDC=90°．正三角形中算出BD=CD=1且AD=

3

，得到△BCD的面积S_△BCD=

1

2

，利用锥体的体积公式即可算出三棱锥A-BCD的体积．

解答：解：∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D
∴AD⊥平面BCD，
∵平面ABD⊥平面ACD，且∠BDC是二面角B-AD-C的平面角
∴∠BDC=90°，
∵AD是边长为2的正三角形的高，可得BD=CD=1，AD=

3

∴△BCD的面积S_△BCD=

1

2

×1×1=

1

2

因此三棱锥A-BCD的体积V=

1

3

×S_△BCD×AD=

1

3

×

1

2

×

3

=

3

6

故答案为：

3

6

点评：本题给出平面图形的折叠，求三棱锥A-BCD的体积．着重考查了正三角形的性质、线面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识，属于中档题．