Question

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°=，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°=
（1）观察上述式子的特点，归纳出一般的结论；
（2）证明归纳出的结论．

Answer 1

解：（1）观察等式：
sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°=，sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°=，…，
照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）=，
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin²α+cos²α+sin²α-sinαcosα+sinαcosα-sin²α
=sin²α+cos²α=．得证．
分析：（1）观察所给的等式，等号左边是sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°、sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°…规律应该是sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）；右边的式子：，写出结果．
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）利用三角函数的差角公式化得sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）整理得sin²α+cos²α，即可得证．
点评：本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，该题着重考查了类比的能力．