Question

定义闭集合S：若a，b∈S，则a+b∈S，a-b∈S．
（1）举一例，真包含于R的无限闭集合；
（2）求证：对任意两个比集合S₁，S₂，S₁⊆R，S₂⊆R，存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

Answer 1

分析：（1）根据闭集合S的定义进行举例即可；
（2）根据闭集合S的定义进行证明．

解答：解：（1）根据闭集合S的定义可知：整数集满足条件．
（2）证明：若?c∈R，均由c∈S₁∪S₂．则R⊆S₁∪S₂．
因此S₁∪S₂=R，
∵S₁⊆R，S₂⊆R，
则一定有a∈R，使得a∈S₁，a∉S₂．一定有存在b∈R，b∈S₂．而b∉S₁．
∴a+b∈R，a+b∈S₁∪S₂，
①若a+b∈S₁，a∈S₁，则必有（a+b）-a=b∈S₁，矛盾．
②若a+b∈S₂，b∈S₂，则必有（a+b）-b=a∈S₂，矛盾．
因此假设不成立，
∴存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

点评：本题主要考查与集合有关的新定义，正确理解定义的含义是解决本题的关键．