Question

3．如图为一简单组合体，其底面ABCD为边长2正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且$PD=2\sqrt{2}，CE=\sqrt{2}$． 
（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB．
（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，证明DB⊥AC，AC⊥PD，推出AC⊥面PBD，然后证明NE⊥面PDB．
证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，推出EN⊥PB，EN⊥DB，然后证明NE⊥面PDB．
（2）连结DN，证明DN⊥PB，求出平面PBE的法向量，求出平面ABCD的法向量，设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，利用数量积求解平面PBE与平面ABCD所成的二面角．

解答 （本题12分）
解：（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，
∵F为BD的中点，∴NF∥PD且$NF=\frac{1}{2}PD$
又EC∥PD且$EC=\frac{1}{2}PD$，则NF∥EC且NF=EC
∴四边形NFCE为平行四边形∴NE∥FC------（2分）
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD------（4分）
∴NE⊥面PDB------（5分）
证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则$B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2\sqrt{2}），E（0，2，\sqrt{2}），N（1，1，\sqrt{2}）$
则$\overrightarrow{EN}=（1，-1，0），\overrightarrow{PB}=（2，2，-2\sqrt{2}），\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$------（2分）
∵$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{PB}=1×2-1×2+0×（-2\sqrt{2}）=0$，$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{DB}=1×2-1×2+0×0=0$
∴EN⊥PB，EN⊥DB------（4分）
∵PB，DB?面PDB，且PB∩DB=B
∴NE⊥面PDB------（5分）
（2）连结DN，由（1）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，
∵$PD=DB=2\sqrt{2}$，∴DN⊥PB
∴$\overrightarrow{DN}$为平面PBE的法向量，且$\overrightarrow{DN}=（1，1，\sqrt{2}）$------（8分）
∵$\overrightarrow{DP}$为平面ABCD的法向量，$\overrightarrow{DP}=（0，0，2\sqrt{2}）$，------（9分）
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{DN}•\overrightarrow{DP}}}{{|{\overrightarrow{DN}}||{\overrightarrow{DP}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$------（11分）
∴θ=45°，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°------（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．