Question

15．设常数a≥0，函数$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简函数，即可得出函数y=f（x）的单调性；
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$，
∵a≥0，y=$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$在R上单调递减，
∴函数y=f（x）在R上单调递增；
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）对任意x均成立，
∴$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$=$\frac{{2}^{-x}-a}{{2}^{-x}+a}$，整理可得a（2^x-2^-x）=0．
∵2^x-2^-x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）对任意x均成立，
∴$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$=-$\frac{{2}^{-x}-a}{{2}^{-x}+a}$，整理可得a²-1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，x≠0，满足条件；
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．