Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC-

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC-

1

2

sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=-

1

2

，结合A∈（0，π）可得角A的大小；
（2）根据A=

2π

3

且a=1利用正弦定理，算出b=

2 3

3

sinB且c=

2 3

3

sinC，结合C=

π

3

-B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵acosC-

1

2

c=b，
∴根据正弦定理，得sinAcosC-

1

2

sinC=sinB．
又∵△ABC中，sinB=sin（π-B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC-

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC，
化简得-

1

2

sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=-

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

；
（Ⅱ）∵A=

2π

3

，a=1，
∴根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得b=

asinB

sinA

=

sinB

sin 2π 3

=

2 3

3

sinB，同理可得c=

2 3

3

sinC，
因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+

2 3

3

sinB+

2 3

3

sinC
=1+

2 3

3

[sinB+sin（

π

3

-B）]=1+

2 3

3

[sinB+（

3

2

cosB-

1

2

sinB）]
=1+

2 3

3

（

1

2

sinB+

3

2

cosB）=1+

2 3

3

sin（B+

π

3

）．
∵B∈（0，

π

3

），得B+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

）
∴sin（B+

π

3

）∈（

3

2

，1]，可得l=a+b+c=1+

2 3

3

sin（B+

π

3

）∈（2，1+

2 3

3

]
即△ABC的周长的取值范围为（2，1+

2 3

3

]．

点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．