Question

已知f(x)=

1

4x+m

 (m＞0)，当x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1时，总有f(x1)+f(x2)=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）设数列{a_n}满足an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，求{a_n}的通项公式；
（3）对?n∈N^*，

kn

an

＜

kn+1

an+1

恒成立，求k的取值范围（其中k＞0且k≠1）．

Answer 1

分析：（1）依据题意，取x1=x2=

1

2

得

1

4 +m

=

1

4

，由此能求出m的值．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

0

n

)，由此能够求出an=

n+1

4

．
（3）由

kn

an

＜

kn+1

an+1

得k＞

an+1

an

=

n+2

n+1

=1+

1

n+1

，由此能够求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）依题意，取x1=x2=

1

2

，
得f(

1

2

)=

1

4

，
即

1

4 +m

=

1

4

，
所以m=2．
当m=2时，?x₁、x₂∈R，x₁+x₂=1，
有f(x1)+f(x2)=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

=…=

4+(4x1+4x2)

4x1+x2+2(4x1+4x2)+4

=

1

2

，
所以m=2．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，
an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

0

n

)
两式相加，并由已知得2an=

n+1

2

，
所以an=

n+1

4

．
（3）由

kn

an

＜

kn+1

an+1

，
得k＞

an+1

an

=

n+2

n+1

=1+

1

n+1

，
?n∈N*，1+

1

n+1

≤1+

1

2

=

3

2

，
等号当且仅当n=1时成立，
所以k的取值范围是k＞

3

2

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，其中：（1）是恒等、定值问题；（2）是根据（1）用倒序相加求数列通项；（3）是分离变量并求它的取值范围．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．