Question

求下列函数的值域:

(1)y=x-;(2)y=,x∈［0, ］.

Answer 1

思路分析:问题(1)函数式含有根式且不易去掉根号,平方易扩大范围,但由1-x²及1-x²≥0?-1≤x≤1的特点可联想到利用三角换元,令x=cosθ,则问题迎刃而解.问题(2)观察函数式为分式,且分子为二次式,分母为一次式,故采用配方法再进一步整理为互为倒数式的形式,采用基本不等式法和单调性法求解.

解:(1)∵|x|≤1,

∴若设x=cosθ,θ∈［0,π］,

则y=cosθ-sinθ=cos(θ+).

∵θ∈［0,π］,∴≤θ+≤.于是-1≤cos(θ+)≤,

即有-≤y≤1.∴函数的值域为［-,1］.

(2)y===(1+cosx)+.

∵x∈［0,］,∴0≤cosx≤1.

∴1≤1+cosx≤2.

则y=(1+cosx)+≥.当且仅当1+cosx=,

即(1+cosx)²=2,则1+cosx=±(舍去).

故当cosx=-1时取等号.

∴y_min=由f(x)=x+的单调性:

在(0,］上f(x)为减函数,在［,2］上f(x)为增函数,则当1+cosx∈［1,］时,y∈［,3］;

当1+cosx∈［,2］时,y∈［,3］,故得函数值域为［,3］

温馨提示

    用换元法解题时,要切记“换元必换限”,即要注意代换前后的元的取值范围.用基本不等式法解题时要注意等号成立的条件,若不能取等号,则往往转化为利用单调性法求解.记住一些函数的单调区间,则可使解题思路更广,解题路径缩短,从而能快速,正确地获解.