Question

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为（　　）

A、2

B、3

C、4

D、5

Answer 1

分析：由f（x）+f（x+1）=4我们可得，我们易得f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x），即f（x）是周期为2的偶函数，由函数周期性和奇偶性的性质，我们易将f（112.5）的自变量转化到区间[-3，-2]中，进而得到f（112.5）的值．

解答：解：∵对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4
∴f（x+1）=4-f（x）
∴f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x）
∴f（x）是周期为2的偶函数
f（112.5）=f（112.5-2×55）=f（2.5）=f（-2.5）
-2.5∈[-3，-2]，所以f（-2.5）=4×（-2.5）+12=2
f（112.5）=2
故选A

点评：我们要求抽象函数的函数值，而自变量均大时，一般我们要用到函数的周期性，求函数的最小正周期是解题的关键．