Question

简答题 如图，点A、B分别是椭圆的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为且PA⊥PF． (1) 求直线PA方程； (2) 设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于│MB│，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：由题意知A(－6，0)…………1分 ∵PA⊥PF，直线PF的方程为x＋y－3＝0 ∴直线PA的斜率为k＝…………3分 ∴直线PA的方程为y＝(x＋6) 即x－3y＋6＝0即x－y＋6＝0…………5分

(2)

解：设M(m，0)，(－6≤m≤6)，则M到PA的距离为， │MB│＝│6－m│ 依题意得＝│6－m│…………7分 ∵－6≤m≤6 ∴m＝2(或可通过方程两边平方求得m＝2) ∴M(2，0)…………9分 　　法1：设椭圆上的点(x，y)(x∈[－6，6])到M(2，0)的距离为d，则 d2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋20－x2…………11分 ＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝x2－4x＋24 ＝(x－)2＋15…………12分 ∵x∈[－6，6]，∴当x＝时，d2最小，此时d│min＝……13分 　　法2：设椭圆上的点(6cosθ，2sinθ)到M(2，0)的距离为d．则…10分 d2＝(6cosθ－2)2＋(2sinθ)2…………11分 ＝36cos2θ－24cosθ＋4＋20sin2θ ＝16cos2θ－24cosθ＋24 ＝16…………12分 ∵θ∈R∴当cosθ＝时，d2最小，此时d│min＝……13分