Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．
因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）
因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）
因为PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）
（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）
因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．
因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，
所以PA⊥平面BDE．…（12分）
因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．