Question

如图1，矩形ABCD中，AB=，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P，如图2。

（1）求二面角B-PQ-C的大小；
（2）证明：PQ⊥BC；
（3）求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小。

Answer 1

（1）解：在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ， 所以，在折起后，有PB⊥PQ，APC⊥PQ， 所以∠BPC就是所求的二面角的平面角， 因为，BC=2， 所以， 即△PBC是直角三角形，所以 ∠BPC=90°。 （2）证明：由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形， 取BC的中点M，连结PM、QM， 则有PM⊥BC，QM⊥BC， 因为PM∩QM=M，平面PQM，平面PQM， 所以BC⊥平面PQM， 因为平面PQM， 所以PQ⊥BC。 （3）由（2）知BC⊥平面PQM，而平面BCQ， 所以平面PQM⊥平面BCQ， 又平面PQM∩平面BCQ=QM， 所以，作PN⊥QM，有PN⊥平面BCQ， 所以，QN是PQ在平面BCQ内的射影， 所以，∠PQN就是所求的角， 在等腰△BCQ中，，MC=1，所以得； 在等腰△BCP中，易得PM=1， 所以△PQM是等腰直角三角形，于是∠PQN=∠PQM=45°。