Question

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知a_n（n∈N^*）是二项式（2+x）ⁿ的展开式中x的一次项的系数．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）是否存在等差数列{b_n}，使a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）结合（（2+x）ⁿ的展开式的通项T_r+1=C_n^r2^n-rx^r，令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差数列{b_n}，满足已知条件则把n=1，n=2，n=3分别代入可求b₁，b₂，b₃，结合所求可猜想b_n=n
再证明：a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n都成立
（法一）设S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ，则S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹，利用倒序相加结合组合数的性质可证
（法二）利用组合数的性质kC_n^k=nC_n-1^k-1，对原式化简可证

解答：解：（I）∵（（2+x）ⁿ的展开式的通项为：T_r+1=C_n^r2^n-rx^r（r=0，1，2…n）
令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差数列{b_n}，满足已知条件
则当n=1时，b₁=a₁=1
当n=2时，a₂=b₁C₂¹+b₂C₂²即4=4=2+b₂，所以b₂=2
当n=3时，a₃=b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³即12=3+6+b₃，所以b₃=3
由上述结果，猜想b_n=n
下面证明：当b_n=n时，a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n都成立
即证n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法一）设S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹
则2S=nC_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1
即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法二）∵kC_n^k=k

n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

=n

(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=nC_n-1^k-1
∴C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1
综上可得，存在等差数列b_n=n满足已知条件．

点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项的系数，考查了组合数的两个性质：①C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ②kC_n^k=nC_n-1^k-1的综合应用及倒序求和、数学归纳法证明数学命题等知识的综合应用．