Question

11．已知函数f（x）=e^-x-alnx在定义域内单调递增，则a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 问题转化为a≤-xe^-x在（0，+∞）恒成立，令g（x）=≤-xe^-x，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）=e^-x-alnx，（x＞0），
∴f′（x）=-e^-x-$\frac{a}{x}$，
若函数f（x）在定义域内单调递增，
则f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤-xe^-x在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=≤-xe^-x，则g′（x）=e^-x（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）_最小值=g（1）=-$\frac{1}{e}$，
∴a≤-$\frac{1}{e}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．