Question

11．设a_n=（2n+1）^p，b_n=（2n）^p+（2n-1）^p，其中p，n∈N₊．
（1）当p=2时，试比较a_n与b_n的大小；
（2）当p=n时，求证：a_n≥b_n对?n∈N₊恒成立．

Answer 1

分析 （1）当p=2时，作差并且对n分类讨论即可比较a_n与b_n的大小；
（2）当p=n时，利用二项式定理与不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：当p=2时，${a_n}={（2n+1）^2}，{b_n}={（2n）^2}+{（2n-1）^2}，n∈{N_+}$，
作差得：${b_n}-{a_n}={（2n）^2}+{（2n-1）^2}-{（2n+1）^2}=4n（n-2）$，
n=1时，b₁-a₁＜0⇒b₁＜a₁，
n=2时，b₂-a₂=0⇒b₂=a₂，
n≥3时，b_n-a_n＞0⇒b_n＞a_n．
（2）证明：当p=n时，${（2n+1）^n}-{（2n-1）^n}=2[C_n^1{（2n）^{n-1}}+C_n^3{（2n）^{n-3}}+…]≥2C_n^1{（2n）^{n-1}}={（2n）^n}$，
即a_n≥b_n，对?n∈N₊恒成立．

点评 本题考查了二项式定理、不等式的性质、乘法公式、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．