Question

（2012•芜湖二模）如图，直角坐标系XOY中，点F在x轴正半轴上，△OFG的面积为S．且

OF

•

FG

=1，设|

OF

|=c(c≥2)，S=

3

4

c．
（1）以O为中心，F为焦点的椭圆E经过点G，求点G的纵坐标．
（2）在（1）的条件下，当|

OG

|取最小值时，求椭圆E的标准方程．
（3）在（2）的条件下，设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点C是椭圆的下顶点，点P在椭圆E上（与点A、B均不重合），点D在直线PA上，若直线PB的方程为，且

AP

•

CD

=0，试求CD直线方程．

Answer 1

分析：（1）设G（x₀，y₀），利用△OFG的面积S=

1

2

c•|y₀|=

3

4

c即可求得点G的纵坐标；
（2）利用

OF

•

FG

=c（x₀-c）=1，可求得x₀=c+

1

c

，从而可求得|

OG

|=

(c+ 1 c )2+ 9 4

（c≥2），构造函数f（c）=c+

1

c

，利用其单调性质可求得当c=2时f（c）有最小值

5

2

，从而可求得G点坐标；
（3）由（2）知：A（-

10

，0），B（

10

，0），C（0，-

6

），由设P（x₁，y₁），可求得k_AP•k_BP=-

3

5

，继而可求得k_AP=-

1

5

，再由

AP

•

CD

=0可求得k_CD=5，从而可求得直线CD的方程．

解答：解：（1）设G（x₀，y₀）∵S=

1

2

|

OF

|•|y₀|，
∴

3

4

c=

1

2

c•|y₀|，|y₀|=

3

2

，
∵

OF

=（c，0），

FG

=（x₀-c，y₀）（y₀＞0），
∴y₀=

3

2

…（3分）
（2）由（1）知

OF

•

FG

=c（x₀-c）=1，∴x₀=c+

1

c

∴|

OG

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

（c≥2）
∵f（c）=c+

1

c

在[2，+∞]上递增，
∴当c=2时f（c）有最小值2+

1

2

=

5

2

，
此时x₀=

5

2

，y₀=

3

2

，
∴G（

5

2

，

3

2

），
由于点G在椭圆E上，且c=2∴可求得a²=10，b²=6
方程为：

x2

10

+

y2

6

=1…（8分）
（3）由（2）知：A（-

10

，0），B（

10

，0），C（0，-

6

），
∵直线BP：y=kx-3

10

经过点B，
∴求得k=3

10

又设P（x₁，y₁）则y12=

6

10

（10-x12），
∴k_AP•k_BP=

y1

x1- 10

×

y1

x1+ 10

=

y 2 1

x 2 1 -10

=

6 10 (10- x 2 1 )

x 2 1 -10

=-

6

10

=-

3

5

，
∴k_AP=-

3

5

×

1

kBP

=-

3

5

•

1

k

=-

3

5

•

1

3

=-

1

5

，
∵

AP

•

CD

=0，
∴k_AP•k_CD=-1，
∴-

1

5

•k_CD=-1，
∴k_CD=5．
又CD直线过点C（0，-

6

）故：所求CD方程为：y=5x-

6

…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用，考查双钩函数的单调性与最值，考查综合分析与应用的能力，属于难题．