Question

设{a_n}为等差数列，从{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有

24

个．

Answer 1

分析：设数列的公差为d，分取出4个数的公差为d时，根据第一、二、三、四项；二、三、四、五项；…；第七、八、九、十项满足题意，共7组；当公差为2d时，同理得到4组；公差为3d时，只有1组，综上，共有12组；当公差变为-d，-2d及-3d时，也有12组，即可得到满足题意的等差数列最多有24个．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，
当取出4个数的公差为d时，有下列情况：
a₁，a₂，a₃，a₄；a₂，a₃，a₄，a₅；…；a₇，a₈，a₉，a₁₀，共7组；
当取出4个数的公差为2d时，有下列情况：
a₁，a₃，a₅，a₇；a₂，a₄，a₆，a₈；a₃，a₅，a₇，a₉；a₄，a₆，a₈，a₁₀，共4组；
当取出4个数的公差为3d时，有下列情况：
a₁，a₄，a₇，a₁₀，共1组，
综上，共有12种情况；
同理，当取出4个数的公差分别为-d，-2d，-3d时，共有12种情况，
则这样的等差数列最多有24个．
故答案为：24

点评：此题考查了等差数列的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．